aplicación de derivadas

1. Funciones monótonas.

Consideremos la gráfica de abajo en la que se tiene el recorrido de un ciclista
en una carrera; en ella se observan desniveles en el recorrido, se tiene un primer trozo en el que el ciclista sube,espués baja y por último sube otra vez hasta llegar a la meta. Pretendemos formalizar el concepto "subir" en la gráfica de una función, para ello tomemos dos puntos x e y del eje X y obtengamos sus asociados del eje Y, se observa que si x entonces se tendrá que f(x).

• Si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente diremos que es estrictamente monótona.

2) Determinación de los intervalos de monotonía.

tenemos una función creciente y se han trazado varias rectas tangentes en distintos puntos, los ángulos que forman todas estas tangentes son siempre ángulos cuyas medidas están comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su tangente siempre es positiva, tendremos entonces que siempre que la función sea creciente la derivada tiene signo positivo o es cero

a) Si f'>0 entonces f es estrictamente creciente.
b) Si f'<0>

3) Máximos y mínimos relativos.

Esos puntos son donde alcanza la cima de una montañ

a. Observamos que en un punto máximo que no esté en los extremos la función t

iene que pasar de creciente a decreciente.

5) Funciones cóncavas.

Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por encima de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a))

7) Puntos de inflexión.

Un punto se llama de inflexión si en él la función cambia el sentido de la concavidad, por tanto en los puntos de inflexión la segunda derivada tiene que cambiar de signo y por tanto en él la segunda derivada tiene que ser cero.